eksponen dan logaritma

2. Logaritma
a.Definisi Fungsi Logaritma
Logaritma adalah invers dari perpangkatan atau eksponen. Oleh karena itu fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen.
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a (a > 0 dan a ≠ 1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum : y = f(x) = alog x
Fungsi logaritma y = f(x) = alog x merupakan fungsi invers dari fungsi komponen y = f(x) = ax.

glog a = x, jika dan hanya jika a = gx

b. Sifat Logaritma
Sifat dasar logaritma : glog n = n, glog g = 1,  glog1 = 0
Sifat-sifat yang lain :
Jika g  > 0 dan g ≠ 1, p  > 0 dan p ≠ 1, a  > 0 , dan b  > 0, maka berlaku hubungan:

•glog(a x b) = glog a +  glog b
•glog(a/b) = glog a –  glog b
•glog an = n x glog a
•gnlog am = (n/m) glog a
•alog b . alog c = alog c
•glog a = 1/alog g

c. Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x.
Macam-macam:

•Bentuk alog f(x) = alog p
Jika alog f(x) = alog p maka f(x) = p asalkan f(x) > 0
•Bentuk alog f(x) = blog f(x)
Jika alog f(x) = blog f(x) (dengan a ≠ b) maka f(x) = 1
•Bentuk alog f(x) = alog g(x)
Jika alog f(x) = alog g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.
•Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)
Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x) maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1.

Bentuk A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0
Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B, dan C  bilangan real dan A ≠ 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu menjadi persamaan kuadrat. Jika diambil permisalan alog x = y maka persamaan logaritma tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat dengan variable y sebagai
Ay2 +By + C = 0. Nilai-nilai y yang didapat dari persamaan kuadrat itu disubtitusikan kembali pada permisalan, sehingga didapat persamaan logaritma alog x = y inilah nilai-nilai x dapat ditentukan.
d. Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variable x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variable x. Penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma menggunakan sifat fungsi monoton naik dan monoton turun pada fungsi-fungsi logaritma standar.

•Sifat fungsi logaritma monoton naik (a > 1)
» Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x); f(x) dan g(x) > 0
» Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x); f(x) dan g(x) > 0

•Sifat fungsi logaritma monoton turun (0 < a < 1)
» Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x); f(x) dan g(x) > 0
» Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x); f(x) dan g(x) > 0

contoh soal logaritma:
Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah

jawab:
alog b = alog c —> maka b = c
2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x
2log 2log (2x+1 + 3) = 2log2 + 2log x
2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2x
2log (2x+1 + 3) = 2x
2log (2x+1 + 3) = 2log 22x
2x+1 + 3 = 22x
2x+1 + 3 – 22x = 0
2x.21 + 3 – 22x = 0 —> ubah menjadi persamaan kuadrat
(2x)2 – 2(2x) – 3 = 0

misal 2x = a, maka persamaan menjadi :
a2 – 2a – 3 = 0
(a + 1)(a – 3) = 0
a = -1 atau a = 3

Selanjutnya,
untuk a = -1 —> 2x = -1 —> tidak ada nilai x yang memenuhi
untuk a = 3 —> 2x = 3 —> x = 2log 3.