Ringkasan Matematika SMA

Logika Matematika

A. Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Ingkaran

Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki nilai kebenaran yaitu benar atau salah. Tapi tidak keduanya atau sekaligus benar dan salah.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti nilai kebenarannya karena memuat variabel.

Ingkaran atau negasi suatu pernyataan P adalah pernyataan ~P yang bernilai salah (S) jika P bernilai benar (B) dan sebaliknya. ~P dibaca bukan P atau tidak benar P.

B. Pernyataan Majemuk

1. Konjungsi ( ^ dibaca dan )
Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan konjungsi menjadi p ^ q ( p dan q ).
Tabel kebenarannya :

2. Disjungsi ( v dibaca atau )
Dua pernyataan p dan q dapat di gabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan disjungsi menjadi p v q ( p atau q ).
Tabel kebenarannya :

3. Implikasi ( => dibaca jika maka )
Dua pernyataan p dan q dapat di gabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan implikasi menjadi p => q ( Jika p maka q ).
Tabel kebenarannya :

Suatu pernyataan majemuk dengan implikasi p => q dapat di ubah menjadi bentuk bentuk pernyataan majemuk yang lain, yaitu :

1). q => p disebut konvers ;
2). ~ p => ~ q disebut invers ;
3). ~ q => ~ p disebut kontraposisi.

Bentuk p => q mempunyai nilai kebenaran yang sama atau ekuivalen dengan bentuk ~ q => ~ p jadi
p => q dapat di tulis ~ q => ~ p

4. Biimplikasi ( <=> dibaca Jika dan hanya jika )
Dua pernyataan p dan q dapat di gabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan biimplikasi menjadi p <=> q ( p jika dan hanya jika q ).
Tabel kebenarannya :

C. Penarikan Kesimpulan
Cara penarikan kesimpulan atau konklusi dari dua premis sebagai berikut :

a. Modus Ponens

Premis 1.      : p => q
Premis 2.      :          p
______________________
Kesimpulan :          q

b. Modus Tollens

Premis 1       : p => q
Premis 2       :        ~q
______________________
Kesimpulan :        ~p

c. Silogisme

Premis 1       : p => q
Premis 2       : q => r
______________________
Kesimpulan : p => r

__________________***________________

Contoh soal

1. Diketahui premis premis berikut
Premis 1 : Jika saya belajar maka saya naik kelas
Premis 2 : Saya tidak naik kelas
Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah ....

Jawaban :

Misalkan p = Saya Belajar
                  q = Saya naik kelas
Maka di peroleh premis berikut :

Premis 1       : p => q
Premis 2       :        ~q
_____________________
Kesimpulan :        ~p

Jadi kesimpulannya saya tidak belajar.

2. Diketahui 3 buah premis sebagai berikut :
1). Jika saya punya uang maka saya menabung
2). Jika saya menabung maka saya beli mainan
3). Saya tidak beli mainan

Kesimpulan yang tepat dari premis premis  di atas adalah ....

Jawaban :

Misalkan p = saya punya uang
                  q = saya menabung
                   r = saya beli mainan
Maka di peroleh premis berikut :

Premis 1       : p => q 
Premis 2       : q => r   ➡  p => r
Premis 3       :                           ~r
________________________________
Kesimpulan :                           ~p

Jadi kesimpulannya saya tidak punya uang.

________________ *** ________________

Latihan

1. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) Hari ini Jakarta banjir.

b) Kambing bisa terbang.

c) Didi anak bodoh

d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu

2. Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):

a) p : Hari ini Jakarta hujan
    q : Hari ini Jakarta banjir

b) p : Iwan memakai topi
    q : Iwan memakai dasi

c) p : Mahesa  anak jenius.
    q : Mahesa anak pemalas.

Jawab di kolom komentar!

_*_*_ Good Luck _*_*_