Früher gab es verschiedene Formate von Papier, was sehr unübersichtlich war, deshalb wurde überlegt ob es möglich sei, ein Format zu entwickeln, bei dem das Verhältnis der größeren zur kleineren Seite immer gleich bleibt, wenn man es in der Mitte der längeren Seite faltet, bzw. welches man in der Mitte der längeren Seite falten kann, wobei es ähnlich zu dem Format davor ist, was unendlich oft geht. Es sollte außerdem genau 1m² Fläche haben.
Erste Frage: Wie groß muss das Verhältnis der Seiten a und b sein?
Wir wissen ja, dass das Verhältnis von a zu b, also a/b, gleich dem Verhältnis von b/(a/2) sein muss. Also:
a/b=b/(a/2) --> a/b=2b/a --> a²=2b²|^0,5
a=2^0,5*b --> a/b=2^0,5
Also ist a genau die Quadratwurzel von 2 - mal so groß, wie b.
Wenn man jetzt sagen würde, b soll 1m groß sein, ist a ca. 1,414m² groß und der Flächeninhalt sollte 2^-0,5 mal so groß sein (2^-0,5*2^0,5=2^0=1).
Wenn ich z.B. ein Viereck mit dem Verhältnis 1:2 habe und es 8m² Fläche haben soll (a=4m, b=2m), aber, weil ich für b=1m genommen habe, nur 2m² Fläche hat (a=2m, b=1m). Die Fläche muss aber 4 mal so groß sein, da es eine Fläche ist (2 Dimensionen) heißt das, dass jede Seite 4^0,5, also 2 mal so groß sein muss - das funktioniert, deshalb müsste es auch bei unserem Papierformat klappen.
b ist das 1*(2^-0,5)^0,5, also 2^-0,25m groß und a ist 2^0,5*(2^-0,5)^0,5, also 2^0,25m groß.
2^-0,25m*2^0,25m=2^0m²=1m²
Geht perfekt auf.
Das (b=2^-0,25m, a=2^0,25m) wären die Maße eines A0 Blattes.
Die Maße eines A1 Blattes kann man sich ausrechnen: b bleibt konstant, a ist halb so groß, also 2^0,25*2^-1=2^-0,75m.
Wenn man auch A2 ausrechnet und eine Übersicht macht...
A0: 2^0,25m * 2^-0,25m
A1: 2^-0.25m * 2^-0,75m
A2: 2^-0,75m * 2^-1,25m
...merkt man, dass man die Maße verallgemeinert in einer Formel darstellen kann:
Ax: 2^(0,25-0,5*x) * 2^(-0,25-0,5*x)
Übrigens steht A0, A1, A2; bzw. Ax für A (Flächeninhalt) = 2^x Meter
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Mathematik, mal anders
Non-FictionNein, das ist kein Mathe-Nachhilfe-Buch, das ist genau das Gegenteil, es ist für Leute, die sich sehr für Mathe interessieren, mit Inhalten, die man im Unterricht so meist nicht gelernt hat, ich wollte mal, dass so ein Buch hochgeladen wird...
