La topologie est une branche des mathématiques qui s'intéresse à certains espaces et à leur déformation. Ce recueil d'articles contient diverses tentatives d'expliquer des concepts de topologie, des faits surprenants ou contre-intuitifs.
Des connais...
La convergence simple est une notion de convergence peu contraignante pour les suites de fonctions d'un ensemble X vers un espace topologique Y. On voudrait étudier l'ensemble des fonctions de X dans Y en préservant cette notion de convergence.
Comment construire une topologie sur cet ensemble de fonctions à partir de la notion de convergence simple ?
Une suite de fonctions de X dans Y converge simplement si la suite de points de Y formée par les images d'un point de X converge dans Y. La convergence simple est donc définie par rapport à la convergence induite par la topologie de Y.
Ci-dessous, une représentation intuitive d'une suite de fonctions simplement convergentes.
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Pour construire notre topologie, il paraît naturel de s'appuyer sur les caractéristiques de la convergence simple : fixons un point x dans X, un ouvert U de la topologie de Y et considérons l'ensemble E(x,U) des fonctions de X dans Y qui envoient x sur un élément de U, c'est-à-dire les fonctions qui "passent dans U" au point x.
Dans l'idéal, tous les ensembles du type E(x,U) avec x un point de X et U un ouvert dans Y formeraient une base d'une topologie. Ce n'est malheureusement pas le cas, car l'intersection de deux ensembles E(x,U) et E(y,V) (c'est-à-dire les fonctions qui passent en x par U et en y par V) n'est pas vide, mais ne contient aucun ensemble de la forme E(z,W).
Comment pouvons-nous modifier notre collection d'ensembles pour résoudre ce problème?
(Ci-dessous, une représentation imagée d'un ensemble du type E(x,U) et de quelques-uns de ses éléments (en blanc pur) : les fonctions de cet ensemble sont celles qui passent à travers le portail jaune.)
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C'est en fait assez naturel : il suffit d'ajouter à notre collection toutes les intersections finies des éléments qui la composent déjà! On peut alors décrire un él&ecute;ment général de notre base de la façon suivante : étant donnés n ouverts U1, U2, ..., Un de la topologie de Y et un sous-ensemble J de X à n éléments x1, x2,..., xn, un membre de la base que nous avons définie est l'ensemble des fonctions qui envoient chaque xi sur un élément de Ui.
(Ci-dessous, une représentation de l'intersection de deux ensembles du type E(x,U) et de quelques-uns de ses éléments (en blanc pur).)
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La topologie générée par la base que nous avons construite est la topologie de la convergence simple. Il s'agit en fait de la topologie produit usuelle définie le produit cartésien indexé par Y de copies de X. Lorsqu'on se retrouve face à cette topologie, il est intéressant de pouvoir naviguer entre ses deux représentations (en tant que topologie sur un espace de fonction ou sur un produit cartésien de copies d'un même espace).
