La topologie est une branche des mathématiques qui s'intéresse à certains espaces et à leur déformation. Ce recueil d'articles contient diverses tentatives d'expliquer des concepts de topologie, des faits surprenants ou contre-intuitifs.
Des connais...
Considérons l'espace des fonctions d'un ensemble non-dénombrable X vers R muni de la topologie usuelle et fournissons à cet espace la topologie de la convergence simple. Dans cet espace,considérons l'ensemble A des fonctions caractéristiques d'ensembles dont le complémentaire est fini.
(Ci-dessous, un élément de A. La fonction est égale à 1 partout sauf en un nombre fini de points.)
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Prenons un ouvert contenant la fonction nulle ; il suffit en fait de prendre un ouvert B de la base de la topologie de la convergence simple qui contiendra toutes les fonctions qui au point j sont dans un intervalle contenant zéro pour tout point j appartenant à un sous-ensemble fini J de X.
La fonction caractéristique du complémentaire de J appartient alors à A. Elle appartient également à B puisqu'elle est nulle en tout point n'appartenant pas au complémentaire de J, c'est-à-dire en tout point de J.
L'intersection de B et de A n'est donc pas vide, et la fonction nulle appartient de ce fait à l'adhérence de A.
(Ci-dessous, une représentation imagée de l'ouvert correspondant à un ensemble J à trois points et de la fonction caractéristique du complémentaire de J, qui est égale à 1 sauf aux points de J.)
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Considérons maintenant une suite de fonctions caractéristiques des ensembles Fn dans A. L'union des complémentaires des Fn est un ensemble dénombrable. Comme X est indénombrable, le complémentaire de cette union (qui est aussi l'intersection des Fn) n'est pas vide et contient au moins un point i.
Considérons l'ouvert basique contenant les fonctions qui au point i sont strictement entre -1 et 1. Aucune des fonctions de notre suite n'appartient à cet ouvert, puisque i appartient à chaque Fn. La fonction nulle appartient cependant à cet ouvert.
De ce fait, notre suite de fonctions ne converge pas vers la fonction nulle.
Mais quel est le sens de cette construction un peu obscure ?
En fait, ce raisonnement nous permet d'affirmer que la fonction nulle est dans l'adhérence de A, mais pas dans son adhérence séquentielle.
Ce résultat est assez contre-intuitif lorsqu'on aborde la topologie après avoir étudié les espaces métriques, où ces deux notions d'adhérence sont équivalentes et peut être source de confusion.
Il est important de garder à l'esprit que toutes les propriétés des espaces métriques ne sont pas transposables aux espaces topologiques ! Notre exemple montre d'ailleurs également que la topologie de la convergence simple sur l'espace de fonctions que nous avons considéré ne peut pas être générée par une distance.
