Апология математика | Годфри Гарольд Харди

XII

Становится ясно, что для дальнейшего продвижения мне необходимо привести несколько примеров "настоящих" математических теорем - теорем, которые любой математик сочтет первоклассными. И здесь я оказываюсь в сильном затруднении из-за ограничений, при которых пишу. С одной стороны, мои примеры должны быть очень простыми и понятными читателю, не обладающему специальными познаниями в математике; не должно быть сложных предварительных объяснений, и читатель должен быть в силах проследить как за доказательствами, так и за формулировками теорем. Эти условия исключают, например, многие из красивейших теорем теории чисел, такие, как теорема Ферма о двух квадратах или закон квадратичной взаимности. С другой стороны, мои примеры должны быть заимствованы из "первоклассной" математики, математики активно работающего профессионального математика, и это условие исключает многое из того, что было бы легко сделать доступным для понимания широкого читателя, но что в то же время выходит за рамки логики и математической философии.

Вряд ли можно предложить лучший выход из положения, чем обращение к математике древних греков. Я сформулирую и докажу две из знаменитых теорем древнегреческой математики. Обе эти теоремы принадлежат к числу "простых" - как по идее, так и по исполнению, но несомненно, при всём этом обе - теоремы высочайшего класса. Каждая из этих теорем так же свежа и значима, как в пору своего открытия. Два прошедших с тех пор тысячелетия не оставили и морщинки на их лике. Наконец, интеллигентный читатель, сколь бы скудным ни был его математический багаж, может за какой-нибудь час одолеть и формулировки, и доказательства этих теорем.

1. Первый пример - предложенное Евклидом доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел().

Простыми называются числа

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, ..., (1)

которые не могут быть разложены на меньшие множители. Например, 37 и 317 - простые числа. Именно простые числа служат тем материалом, из которого с помощью умножения образуются все числа: например, 666 = 2·3·3·37. Каждое число, которое не является простым, делится по крайней мере на одно простое число (разумеется, обычно оно делится на несколько простых чисел).

Требуется доказать, что существует бесконечно много простых чисел, т.е. последовательность (1) никогда не кончается.

Предположим, что последовательность (1) кончается, т.е. что 2, 3, 5, ..., P - все входящие в неё числа (таким образом, P - наибольшее простое число). Следуя этой гипотезе, рассмотрим число Q = (2 · 3 · 5 · ... · P) + 1.

Ясно, что Q не делится ни на одно число 2, 3, 5, ..., P, так как при делении на любое из этих чисел даёт остаток 1. Но если число Q не простое, то оно должно делиться на какое-то простое число. Следовательно, существует какое-то простое число (может быть, само число Q), больше, чем любое из чисел 2, 3, 5, ..., P. Это противоречит сделанному нами предположению о том, что не существует простого числа, которое бы превосходило число P, и, следовательно, это предположение неверно.

Метод доказательства reductio ad absurdum (доказательство от противного), столь любимый Евклидом, - один из самых лучших инструментов математика(). Это гораздо более "хитроумный" гамбит, чем любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешку или даже фигуру, но математик жертвует партию.