Matemática PA e PG

Gabarito

1.

2.

3.
Alternativa B
A fórmula do termo geral de uma PA é:
an = a1 + (n - 1)r
an é o termo geral
n é a posição ocupada pelo termo em questão
r é a razão da PA
a1 é o primeiro termo da progressão
Substituindo os valores dados no exercício na fórmula acima, teremos:
- 13 = 23 + (n - 1)·(- 6)
- 13 = 23 - 6n + 6
6n = 23 + 6 + 13
6n = 36 + 6
6n = 42
n = 42
6
n = 7
O número - 13 ocupa a 7ª posição

4.
Alternativa D
Considerando que o primeiro termo é 107, a razão é 6, e procuramos o centésimo primeiro termo, podemos usar a fórmula do termo geral da PA para encontrá-lo.
a100 = 107 + (101 - 1)·6
a100 = 107 + 100·6
a100 = 107 + 600
a100 = 707

5.

Sn = (a1 + an).n
2
500 = (5 + a20).20
2
500.2= (5+ a20).20

1000 = 100+ 20.a20

1000 - 100 = 20.a20

900 = 20.a20

a20 = 900
20

a20 = 45

Vamos agora utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o valor da razão r:

an = a1 + (n - 1).r
45 = 5 + (20 - 1).r
45 - 5 = 19.r
r = 40 ≈ 2
19

6.

Se a soma dos 15 primeiros termos é 150, na fórmula da soma de uma PA, teremos que Sn = 150 e n = 15. Logo:

Sn = (a1 + an).n
2
150 = (a1 + a15).15
2
300 = (a1 + a15).15
300 = a1 + a15
15
a1 + a15 = 20

Nesse exercício, não temos determinada a razão da progressão aritmética. Portanto, utilizaremos uma ideia que pode facilmente ser demonstrada em uma progressão aritmética qualquer. Um elemento da sequência é igual à média aritmética do elemento que o antecede e do elemento que o sucede. Por exemplo, dada a progressão aritmética An = (a1, a2, ..., an-1, an, an+1), temos que:

An = an-1 + an-2
2

Sendo assim, podemos dizer que:

A8 = a7 + a9
2

Além disso, em uma progressão aritmética, a soma dos termos equidistantes é igual. Para esse exercício, temos a sequência:

An = (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15)

a1 + a15 = a2 + a14 = a3 + a13 = ... = a7 + a9

Retornando às equações anteriores, podemos então reescrever o termo A8, substituindo a soma "a7 + a9" por "a1 + a15", que é equivalente, portanto:

A8 = a1 + a15
2
A8 = 20
2
A8 = 10

A alternativa correta é a letra a.

7.

an = a1 + (n - 1).r
a10 = a1 + (10 - 1).r
a10 = 100 + 9.r
a10 = 100 + 9.4
a10 = 100 + 36
a10 = 136

S10 = (a1 + a10).10
2
S10 = (100 + 136).10
2
S10 = 236.5
S10 = 1.180

Portanto, a alternativa que corresponde ao percurso total feito pelo jardineiro é a letra b.

8.

Vamos identificar a razão q dessa PG:

q = a2
a1
q = 3
1
q = 3

Sn = a1(qn - 1)
q - 1
S10 = 1(310 - 1)
3 - 1
Sn = 59049 - 1
3 - 1
Sn = 59048
2
Sn = 29524

9.

a) Se nós organizarmos a quantidade de madeiras em cada pilha, teremos formada uma progressão geométrica (1, 2, 4,...). Vamos identificar a razão dessa PG:

q = a2
a1
q = 2/1
q = 2

Agora que já identificamos que a razão da PG é 2, podemos utilizar a fórmula do termo geral para saber quantas tábuas haverá na nona pilha:

an = a1.qn - 1
a9 = a1.q8
a9 = 1 . 28
a9 = 256

A nona pilha será composta por 256 tábuas.

b) Se cada tábua possui 0,5 cm de espessura, basta multiplicar esse valor pela quantidade de tábuas da nona pilha. Portanto, 0,5 . 256 = 128 cm ou 1,28 m.

10.

an = a1 + (n - 1).r
an = 3 + (n - 1).4
an = 3 + 4n - 4
an = 4n - 1

Então, o termo geral da PA (3, 7, ...) é an = 4n - 1.