¡Malditas Matemáticas! Alicia en el país de los Números [ En Revisión ]

Capítulo 12 [ El Cuadrado Mágico]

Alicia y Charlie continuaron adentrándose en el bosque, siguiendo siempre ladiagonal del gran cuadrado de números arborescentes.Bajo el 651 (de cuyo tronco salían tres ramas, cada una de las cuales se dividía ensiete, que a su vez se subdividían en treinta y una), vieron una gran tortuga con unextraño dibujo en el caparazón. Pero al darse cuenta de que alguien se acercaba, elquelonio se escabulló con una rapidez impropia de los de su especie.- ¿Qué era eso? -preguntó Alicia.-La tortuga divina que el sabio chino Yu vio salir del río Amarillo -contestóCharlie-. Al menos eso es lo que cuenta el Libro de las permutaciones, escrito hacemás de tres mil años. Los signos de su caparazón representan los números del 1 al9 mediante puntos blancos y negros, y componen un cuadrado mágico.- ¿Y qué es un cuadrado mágico?A modo de respuesta, Charlie dibujó en su cuaderno un cuadrado dividido en nueve -Si consigues disponer en las casillas los números del 1 al 9 de manera que todaslas filas, columnas y diagonales sumen lo mismo, habrás compuesto un cuadradomágico.-Me he dado cuenta de que en el centro del caparazón de la tortuga había cincopuntos formando una cruz -comentó Alicia.-Pues ya tenemos mucho adelantado. Pongamos el 5 en la casilla central.- ¿Y ahora?-Y ahora, pensemos. ¿Cuánto tienen que sumar los números de cada fila, columnay diagonal?-Lo mismo -contestó la niña.-Sí, pero ¿cuánto?-No sé...- ¿Cuánto suman los números del 1 al 9? -insistió Charlie.-Voy a calcularlo con el truco del pequeño Gauss:(9 + 1) x 9/2 = 45.-Entonces, ¿cuánto sumarán los números de cada fila? - ¡Ya lo veo! -exclamó Alicia. Si entre las tres filas tienen que sumar 45 y las treshan de sumar lo mismo, cada fila sumará 15. Y lo mismo las columnas y lasdiagonales.-Exacto. Y ahora, ¿qué se te ocurre?-No sé por dónde empezar -reconoció la niña.-Cuando no sepas por dónde empezar, lo mejor es que empieces por el principio;en este caso, por el 1. ¿Dónde puedes ponerlo?-Sólo hay dos posibilidades: ponerlo en una esquina o en medio de un lado.-Muy bien: te has dado cuenta de que las cuatro esquinas son equivalentes, y lomismo los centros de los lados. Veamos qué pasa si lo ponemos en una esquina.-No veo que pase nada -dijo Alicia. - ¿Y ahora? -preguntó Charlie, tras añadirun número y cuatro letras al cuadrado.-El 9 tiene que estar ahí para que los tres números de la diagonal sumen 15, eso loentiendo; pero esas letras... - ¿Cuánto tienen que sumar A y B?-Tienen que sumar 14 para dar 15 con el 1.- ¿Y C y D?-También tienen que sumar 14, por la misma razón.- ¿Y qué dos números del 1 al 9 suman 14?-El 5 y el 9... y el 8 y el 6 -contestó Alicia, tras una breve pausa y algunasdisimuladas cuentas con los dedos.-Exacto. Pero el 5 y el 9 ya están colocados, por lo que sólo nos quedan el 8 y el 6.Por lo tanto, no hay manera de conseguir A + B = 14 y C + D - 14, puesto que sólodisponemos de una pareja de números que sumen eso. ¿Qué conclusión sacas deello?- ¿Que el 1 no puede estar en una esquina?-Muy bien -la felicitó Charlie-. Hemos demostrado que el 1 no puede estarcolocado en una esquina por el viejo método de reducción al absurdo.-Me suena, pero no sé exactamente lo que es el método ese.-Consiste, sencillamente, en demostrar que algo es falso suponiendo que es ciertoy viendo que esa suposición conduce a algo absurdo o imposible. En este caso,hemos supuesto que el 1 va en una esquina y hemos visto que esa suposición nosconduce a un callejón sin salida. Por lo tanto...-El 1 tiene que estar en medio de un lado -concluyó Alicia.-Exacto. Y ahora es fácil completar el cuadrado. A la derecha del 5 tiene queestar... -El 9, para que la segunda fila sume 15 -prosiguió la niña-. Y el 1 tiene que estarentre el 8 y el 6, para que la primera columna también sume 15. Y los demás salensolos.-Ahí tienes tu cuadrado mágico -dijo Charlie con una sonrisa (amplia, por unavez, en lugar de enigmática).- ¡Cómo mola! -exclamó Alicia-. ¿Hay más cuadrados mágicos?-De orden tres, sólo éste, básicamente.- ¿Qué es eso del orden tres?-El orden de un cuadrado mágico es su número de casillas por lado.-Pero hay más de uno -observó la niña-. Si ponemos la columna de la izquierdaa la derecha y la de la derecha a la izquierda, sigue siendo mágico.-Cierto, pero este cuadrado es como la imagen en el espejo del otro, y lo mismoocurre con todos los que podemos componer: se pueden obtener a partir de unmodelo único mediante giros o reflexiones, o sea que son básicamente iguales. - ¿Y los de orden cuatro?-Ésos son mucho más variados: con los números del 1 al 16 podemos formar 880cuadrados mágicos de orden cuatro distintos.- ¿Cómo?-Enseguida lo verás.Efectivamente, al poco rato, y siempre siguiendo la diagonal del bosque denúmeros, llegaron al 2.451 (de cuyo tronco salían tres ramas, cada una de lascuales se dividía en diecinueve que a su vez se subdividían en cuarenta y tres), y ala sombra de su tupido ramaje vieron, en el suelo, una losa de piedra cuadradadividida en dieciséis casillas. En las doce casillas del perímetro había sendosnúmeros labrados en la piedra, pero las cuatro del centro estaban vacías.-Ahí tienes un cuadrado mágico de orden cuatro -dijo Charlie-, el mismo que fueinmortalizado por Durero en su famoso grabado Melancolía. Por cierto, los dosnúmeros centrales de la fila inferior forman el año de realización del grabado: 1514.-Pero está incompleto -observó Alicia.-Sí. Tienes que completarlo tú para poder entrar.- ¿Para entrar dónde?-Lo averiguarás en cuanto entres.- ¿Y cómo voy a grabar los números en esa losa?-Puedes marcarlos con el dedo, siempre que sean los números correctos: la verdadablanda hasta la piedra.-Está bien, está bien, lo intentaré. Déjame tu cuaderno para hacer una prueba...Vamos a ver: faltan los números 6, 7, 10 y 11, y los tengo que poner en las casillas del centro. Los números de la primera columna suman 16 + 5 + 9 + 4 = 34; por lotanto, todas las columnas, filas y diagonales tienen que sumar eso... En la segundacolumna están el 3 y el 15, que suman 18, luego faltan 16 para llegar a 34. Con loscuatro números que quedan, la única forma de sumar 16 es con el 6 y el 10; por lotanto los tengo que poner en la segunda columna, pero ¿en qué orden?Supongamos, en principio, que los pongo así...- ¿Lo has conseguido? -pregunto Charlie, mirando el cuaderno por encima delhombro de la niña.-No, así no puede ser -contestó ella tras unos segundos-, porque los tresnúmeros de la segunda fila suman 19 y faltaría el 15 para llegar a 34, pero el 15 yaestá colocado. Por lo tanto, tiene que ir el 10 encima y el 6 debajo... Ahora sí, y el11 y el 7 están chupados...Alicia se arrodilló en el suelo y marcó los cuatro números en las casillas centrales dela losa. La piedra cedió bajo la punta de su dedo como si fuera arcilla blanda, y en cuanto hubo terminado de grabar el último número se deslizó horizontal-mente ydejó ver una empinada y oscura escalera que se hundía en las entrañas de la tierra.- ¿Adonde lleva? -preguntó la niña volviéndose hacia Charlie. Pero el escritorhabía desaparecido.