¡Malditas Matemáticas! Alicia en el país de los Números [ En Revisión ]

Capítulo 13 [El Matemago]

  La curiosidad era en Alicia más fuerte que el miedo, como ya se ha dicho, de modoque, sin pensárselo dos veces, comenzó a descender por la oscura escalera, de laque no se veía el fondo.Llegó por fin a un pasadizo horizontal, igualmente oscuro, al fondo del cual brillabauna tenue luz ambarina. Hacia allí se dirigió (ya no podía retroceder, pues la losa sehabía vuelto a cerrar sobre su cabeza al poco de iniciar el descenso), y el pasadizola llevó a una amplia sala iluminada por cinco poliedros blancos que parecían flotaren el aire y emitir luz propia. Se trataba de los cinco sólidos platónicos: un tetraedroregular, un cubo, un octaedro, un dodecaedro y un icosaedro.Al fondo de la sala, sentado en un gran trono de piedra,había un anciano de larga barba blanca leyendo un libro.Llevaba una túnica negra hasta los pies y un puntiagudocucurucho en la cabeza, como los magos de los cuentos,sólo que con cifras y signos aritméticos en lugar deestrellas.—Acércate —dijo el extraño personaje, sin levantar lavista del libro.Cuando Alicia estuvo a su lado, le mostró la página queestaba leyendo, donde había una tabla cuadriculada llenade números.— ¿Qué es eso? —preguntó la niña.—Una pequeña tabla adivinatoria.— ¿Eres un mago?—Un matemago: practico las artes matemágicas. Piensaun número del 1 al 15 y dime en cuáles de estas cuatro columnas está.—En la primera y en la cuarta —dijo Alicia tras unos segundos.—Es el número 9 —afirmó inmediatamente el matemago.—Te sabes la tabla de memoria. —En matemáticas no hay que utilizar la memoria, sino la inteligencia. En cuanto teexplique cómo funciona esta tabla, tú también podrás utilizarla o incluso elaborar tupropia tabla.—Estupendo, me encantan los trucos.—Pues este pequeño truco matemágico se basa en una interesante propiedad de laserie de las potencias de 2...— ¿Qué es eso?—Ya conoces esa serie: es la misma que la de los granos de trigo en el tablero deajedrez: 1, 2, 4, 8, 16... Ir duplicando el número de granos en cada casilla es comomultiplicar por 2 una y otra vez, y así obtenemos la serie de las potencias de 2.Alicia iba a preguntarle cómo sabía que ella conocía la historia de los granos de trigoy el ajedrez, pero el matemago pasó las páginas del libro y le mostró una columnade igualdades. Aunque, más que una columna, aquello parecía una escalera.— ¿Por qué 20 es 1? —quiso saber la niña.—Buena pregunta... ¿Sabrías dividir 25 por 22? Puedes hacer las operacionesoralmente.—Sé hacer algunas operaciones mentalmente, pero ¿cómo se hacen oralmente?—En voz alta.  Alicia pensó que el matemago estaba un poco chiflado. ¿De qué servía hacer lasoperaciones en voz alta? Si no se anotaban en un papel o una pizarra, no se ganabanada verbalizándolas. Sin embargo, decidió seguirle la corriente y empezó a decir:—Como 25 es 2 x 2 x 2 x 2 x 2...Pero se quedó muda al ver que, a medida que los nombraba, los números y lossignos salían de su boca como nubecillas de humo, y se quedaban flotando en elaire ordenadamente.25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2Eran números grandes y brillantes, que parecían hechos de un humo purpúreodotado de luz propia.—Sigue —la animó el matemago.—Bueno, eso da 32, dividido por 22, que es 2 x 2, o sea, 4, da 8.Mientras lo decía, fueron saliendo de su boca nuevas cifras y signos, que seañadieron a los anteriores.25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 3222 = 2 x 2 = 432:4 = 8—Muy bien —dijo el matemago—, pero podemos hacer la división directamente, sinnecesidad de multiplicar todos esos doses.Agitó los números flotantes con las manos, y se reordenaron del siguiente modo:25/22=2 x 2 x 2 x 2 x 2 / 2 x 2— ¿Y ahora? —preguntó Alicia.—Ahora podemos simplificar la fracción de la derecha dividiendo dos veces por 2 elnumerador y el denominador, o lo que es lo mismo, quitamos dos doses arriba ydos abajo, y nos queda 2 x 2 x 2, o sea, 23 —contestó el matemago, y con unrápido gesto redujo la igualdad a:25/22 = 2 x 2 x 2 = 23—Sí, así es más fácil —admitió Alicia.—Y ahora fíjate bien: lo que hemos hecho ha sido restar de los cinco doses delnumerador los dos del denominador, o sea, hemos restado los exponentes: 5 - 2 =3, y ese 3 es el exponente del resultado: 23. Si ahora tuviéramos que dividir, porejemplo, 29 por 25...—Como 9 - 5 = 4, el cociente será 24, o sea, 16 —concluyó la niña.—Exacto. Para dividir potencias de un mismo número, simplemente se restan losexponentes. Ahora divide 23 por 23.—Eso es una trivialidad. Cualquier número dividido por sí mismo es igual a 1.—Sí, pero hazlo restando los exponentes, como acabamos de ver.—Los dos exponentes son 3, o sea, 3-3 = 0... ¡Cero!—Así es: 23: 23 = 20Pero como tú muy bien has señalado, un número partido por sí mismo es 1, luego2o = l. Y lo que hemos hecho con el 2 podríamos haberlo hecho con cualquier otronúmero, evidentemente. Así que todo número elevado a la potencia 0 es igual a 1.—Qué curioso —comentó Alicia.—Pues más curiosa aún es la serie de las potencias de 2. Todos los númerosnaturales son, o bien potencias de 2, o bien la suma de varias potencias de 2distintas; y lo que es más importante: cada número sólo puede expresarse de unaúnica manera en función de las potencias de 2.Mientras decía esto, el matemago pasó las páginas del libro y le mostró a Alicia unalista.1 =202 = 213 = 2° + 214 = 225 = 2o + 226 = 21 + 227 = 20 + 21+228 = 239 = 20 + 2310 = 21+23— ¿Y eso es tan especial? —preguntó la niña al verla.—Mucho. También podemos, por ejemplo, expresar cualquier número como sumade impares distintos, pero no de una forma única. Así, 16 es 9 + 7, pero también es1 + 3 + 5 + 7: hemos expresado un mismo número de dos formas distintas comosuma de impares. Sin embargo, en la serie 1, 2, 4, 8, 16..., cualquier agrupación desus términos da una suma distinta.— ¿Y eso para qué sirve?—Podríamos hablar mucho de las propiedades de esta interesantísima serie...—No, mucho no, por favor —rogó Alicia—, que entonces sería como una clase demates.—De acuerdo, entonces sólo te diré que sirve para componer una tabla como la queantes te he mostrado. Ahora te explicaré cómo se elabora y así podrás montar tupropio espectáculo de matemagia. Paraempezar, tomamos los cuatro primerostérminos de la serie: 1, 2, 4 y 8. Podríamostomar más, pero entonces la tabla sería muygrande. Con estos cuatro términos, podemosexpresar, en forma de sumas, los números del1 al 15, que dispondremos de la siguienteforma...El matemago fue nombrando números, quesalieron de su boca como nubecillas de humopurpúreo y se ordenaron en columnas.— ¿Por qué están en ese orden?—Es muy sencillo: 3 es 1+2, luego lo ponemosen la columna del 1 y en la del 2; 5 es 1+4, luego lo ponemos en la columna del 1 yen la del 4; 6 es 2+4, luego lo ponemos en la columna del 2 y en la del 4; 7 es 1 +2 + 4..—Luego lo ponemos en la columna del 1, en la del 2 y en la del 4; ya lo entiendo,pero ¿para qué sirve? —preguntó Alicia.—Si ahora tú me dices, por ejemplo, que un número está en la primera columna yen la cuarta, no tengo más que sumar 1 + 8 para saber que es el 9; si está sólo enla tercera columna, es el 4; si está en la primera, la segunda y la cuarta, es 1 + 2 +8 = 11; si está en todas, es 1 + 2 + 4 + 8= 15.—Ya veo. La tabla que me has enseñado antes es la misma que ésta, sólo que conlos números de cada columna cambiados de orden.—Claro; una vez hecha la tabla, puedes poner los números de cada columna en elorden que quieras, para que no se note el truco.—Muy astuto —reconoció Alicia—. Yo sé un truco para sumar deprisa; puedo sumarlos números del 1 al 100 en un santiamén.—Y también sabes sumar los términos de la serie 1, 2, 4, 8, 16...—Sí, lo he aprendido al ver lo de los granos de trigo y el tablero de ajedrez. Es muyfácil: la suma es el doble del último menos 1; por ejemplo, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +32 + 64 = 2 x 64 - 1 = 127.—Muy bien —la felicitó el matemago, con una sonrisa de satisfacción.— ¿Sabes algún otro truco para sumar de-prisa? —preguntó la niña.—Sí, claro —contestó el anciano. Se quitó el puntiagudo gorro constelado de cifras yde su interior sacó...