الأعداد الأولية أحد أكثر المواضيع الأساسية في الفرع الرياضيّ المسمى نظرية الأعداد، وهي أعدادٌ قابلةٌ للقسمة الصحيحة على نفسها وعلى الواحد.
على سبيل المثال، الرقم سبعة هو رقمٌ أولي طالما أن هناك باقٍ لحاصل قسمته على أي رقمٍ آخر غيره أو غير الواحد.
الرقم ستة ليس أوليًا، إذ يمكن تقسيمه على نفسه وعلى الأثنين، والحصول على رقمٍ صحيحٍ وهو ثلاثة.
أحد أسباب أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد، أنها بطريقةٍ معينةٍ بمثابة أحجار الأساس للأعداد الطبيعية.
تنص النظرية الأساسية للحساب -التي يشير اسمها إلى أهميتها- إلى أنه يمكن تحليل أي رقمٍ إلى مجموعةٍ فريدةٍ من الأعداد الأولية، مثال:
12 = 2×2×3، 50= 5×5×2، 69 = 3×23.
إذن، دراسة الأعداد هو بمثابة دراسة خصائص الأعداد الأولية.
على مدى ألف عام، اكتشف علماء الرياضيات القليل فقط عن الأعداد الأولية، وواحدةٌ من أكثر براهين عالم الرياضيات اليوناني إقليدس شهرة، تُظهر أن هناك عددًا لانهائيًا من الأعداد الأولية.
الفكرة الأساسية للبرهان هي أنه إذا كان هناك عددٌ محدودٌ من الأعداد الأولية، وكانت لدينا قائمةٌ بتلك الأعداد الأولية، يمكننا إضافة واحدٍ إلى حاصل ضربهم، وبالتالي إنتاج رقمٍ جديدٍ لا يقبل القسمة على أيٍّ من الأعداد الأولية في تلك القائمة.
ذلك الرقم سيكون إما عددًا أوليًا ليس في قائمتنا، أو سيكون له قاسمٌ أوليّ ليس ضمن قائمتنا. وفي كلتا الحاليتين، يتعارض ذلك مع فكرة محدودية الأعداد الأولية، وبالتالي لابد من وجود عددٍ لا نهائيٍّ منها.
في القرن التاسع عشر، أثبت علماء الرياضيات مبرهنة الأعداد الأولية، بمعلومية بعض الأرقام الطبيعية الكبيرة، تعطي النظرية تقديرًا تقريبيًا لعدد الأرقام الأولية الأصغر من العدد المعطى، وتصبح الأعداد الأولية أكثر ندرةً بين الأعداد الكبيرة وفقًا لصيغةٍ رياضيةٍ تقريبية معينة.
على الرغم من كل الأشياء التي نعرفها عن الأعداد الأولية، فهناك الكثير من الحدسيات الخادعة البسيطة حول الأعداد الأولية التي لم تُثبت صحتها أو دحضها.
وهذا بعضٌ من تلك الحدسيات:
حدسية التوأم الأولي:
التوأم الأولي هو زوجٌ من الأعداد الأولية يقع بينهما رقمٌ واحد
مثال: الرقمان 5،7 ، 11 و13، 29 و31.
حدسية (التوأم الأوليّ – twin primes) تنص على أن هناك عددًا لانهائيًا من أزواج التوأم الأولية بين الأعداد اللامحدودة من الأعداد الأولية.
يعتقد معظم علماء الرياضيات أن هذه الحدسية يجب أن تكون صحيحة، ففي حين أن الأعداد الأولية تصبح أكثر ندرةً كلما صارت الأعداد أكبر تصاعديًا، فإن خبرة علماء الرياضيات النظرية وبديهيتهم في الأعداد الأولية تقترح أن أزواج التوأم الأولية يجب أن تظهر من وقتٍ لآخر، على الرغم من هذا، لم تُثبت الحدسية أو تُدحض.
