"El curioso incidente del perro a medianoche" es una novela que no se parece a ninguna otra. Elogiada con entusiasmo por autores consagrados como Oliver Sacks e Ian McEwan, ha merecido la aprobación masiva de los lectores en todos los países donde s...
Pregunta Demuestra el siguiente resultado: «Un triángulo cuyos lados pueden escribirse en la forma n2 + 1, n2 — 1y 2n (donde n > 1) es rectángulo.» Demuestra, mediante un ejemplo opuesto, que el caso inverso es falso. Respuesta Primero tenemos que determinar cuál es el lado mayor de un triángulo cuyos lados pueden escribirse en la forma n^2 + 1, n^2 — 1 y 2n (donde n > 1) n^2 + 1 — 2n = (n — 1)^2 y si n > 1 entonces (n — 1)^2 > 0 por tanto n^2 + 1 — 2n > 0 por tanto n^2 + 1 > 2n asimismo (n^2 + 1) — (n^2 — 1) = 2 por tanto n2 + 1 > n2 — 1. Eso significa que n^2 + 1 es el lado mayor de un triángulo cuyos lados pueden escribirse en la forma n^2 + 1, n^2 — 1 y 2n (donde n > 1). Esto puede mostrarse también mediante el siguiente gráfico (aunque esto no prueba nada):
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Según el teorema de Pitágoras, si la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, el triángulo es rectángulo. Por lo tanto, para probar que el triángulo es rectángulo, necesitamos demostrar que ése es el caso. La suma de los cuadrados de los dos catetos es (n^2 — 1)^2 + (2n)^2 (n^2— 1)^2 + (2n)^2 = n^4 — 2 n2 + 1 + 4 n2 = n + 2n + 1. El cuadrado de la hipotenusa es (n^2 + 1)^2(n^2 + 1)^2 = n + 2 n + 1. Por tanto la suma de los cuadrados de los dos catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, y el triángulo es rectángulo. Y lo inverso a «Un triángulo cuyos lados pueden escribirse en la forman 2 + 1, n^2 — 1 y 2n (donde n > 1) es rectángulo» es «Un triángulo que es rectángulo tiene unos lados cuyas longitudes pueden escribirse en la forma n^2+ 1, n^2 — 1 y 2n (donde n > 1)». Y un ejemplo opuesto significa encontrar un triángulo que searectángulo, pero cuyos lados no puedan escribirse en la forma n2 + 1, n^2 — 1y 2n (donde n > 1). Así, pongamos que la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC sea AB y pongamos que AB = 65 y pongamos que BC = 60. Entonces CA = √ (AB2—BC2)= √ (652 — 602) = √ (4.225 — 3.6oo) = √ 625 = 25. Pongamos que AB = n2 + 1 = 65 entonces n = √ (65 — 1) = √ 64 = 8 por tanto (n^2 — 1) = 64 — 1 = 63 ≠ BC = 60 ≠ CA = 25 y 2n = 16 ≠ BC = 60 ≠ CA = 25. lo tanto el triángulo ABC es rectángulo pero sus lados no puedenescribirse en la forma n^2 + 1, n^2 — 1 y 2n (donde n> 1). QED
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