Pourquoi j'adore les maths

Les nombres premiers jumeaux

La différence minimale entre deux nombres premiers c'est 1 : 2 et 3 sont premiers.

Bon, mais au-delà de 2, comme un nombre sur deux est pair, donc non premier, une différence de 1 n'est plus possible. Les nombres premiers les plus « proches » les uns des autres ont donc une différence de 2. Parce qu'ils se ressemblent, on les nomme « jumeaux ».

Je déteste cette appellation, en fait. Elle n'a pas de sens. Il aurait mieux valu les nommer « nombres premiers sosies » ou « nombres premiers avec la même tête ».

Plus vous allez loin dans la suite des nombres, plus les nombres premiers deviennent rares. Pour les jumeaux, c'est encore pire. Alors, sont-ils rares au point qu'il n'y en a qu'un nombre fini ?

Gudule : comme ça, je dirais une infinité.

C'est un problème toujours ouvert, aussi célèbre que la conjecture de Goldbach... et aussi difficile sans doute.

De manière plus générale, on se pose des questions sur les nombres premiers en progression arithmétique, autrement dit, des suites de nombres premiers séparés de la même valeur. Par exemple, 3, 5, 7 forme une petite suite de 3 nombres premiers séparés de 2. 9 n'est pas premier, donc ça s'arrête là.

Dans ce cadre plus général, on a un théorème qui déclare :

Théorème de Green-Tao (2004) : la suite des nombres premiers contient des suites arithmétiques arbitrairement longues.

Mais bon, ça parle juste de « suite arithmétique » et ça n'en construit pas explicitement. Vous ne savez pas s'ils sont séparés de 2 et a priori ce n'est pas le cas.

Gudule : donc ce théorème est d'un tout autre domaine.

Oui, mais il est joli.

Alors, infini ou pas infini ?

Eh bien, pour rajouter du piment à cette question ouverte depuis... quasiment depuis qu'on connaît les nombres premiers, sans doute, on sait quand même depuis 1919 avec Viggo Brun (je ne connaissais pas ce nom avant moi non plus) que vous pouvez faire la somme des inverses des nombres premiers jumeaux. Tous. Et ça donne à peu près 1,90216 05831 04 (ça fait partie des choses que les matheux s'amusent à calculer quand on les laisse jouer avec un gros ordinateur).

B = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + (1/17 + 1/19) + ...

Gudule : et alors ?

Vous avez donc envie de dire qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers jumeaux. Mais c'est plus délicat. On sait par exemple que la somme des inverses de carrés d'entiers est aussi finie (dans le vocabulaire consacré, on dit que c'est une série convergente) et vaut d'ailleurs Pi au carré / 6.

Gudule : mais il y a un nombre infini de carrés d'entiers.

Intuitivement, ils ont beau être en nombre infini, ils croissent « trop vite » et sont trop peu nombreux.

Gudule : si vous aussi vous détestez la conjugaison du verbe croître, signez ma pétition qu'on enverra à l'Académie Française.

Ça pourrait être de même pour les nombres premiers jumeaux. Le fait est qu'on n'en sait rien. C'est intriguant.

Gudule : et la somme des inverses des entiers, alors ?

Ben, celle-là diverge. Ça a beau croître « très lentement » (logarithme, toujours), ça part à l'infini.

Gudule (sourire machiavélique) : et la somme des inverses des nombres premiers ?

Non, celle-la diverge aussi. Comme quoi il y a une vraie différence entre les jumeaux et les nombres premiers normaux.

Un autre résultat quand même : il existe une infinité de nombres premiers consécutifs dont l'écart est inférieur à 70 000 000 (Zhang Yitang, 2009). Ce théorème venait d'un parfait inconnu dans le monde académique et a surpris tout le monde... les génies sont cachés partout.

Gudule : c'est pas encore des jumeaux mais c'est un grand pas.

On a réduit à 4680 (2013) à l'aide de travaux communs de mathématiciens, et ça a encore fait quelques progrès. Mais les travaux semblent ne pas avoir beaucoup bougé depuis 2014.

Gudule : on peut donc dire qu'il existe une infinité de « quasi » jumeaux. 4680 ou 2, qu'est-ce que ça change.

Le fait est que pour arriver à 2, ce ne sera certainement pas la même méthode...