Dans la vie j'aime écrire. Et j'aime les maths. Bon, ça dépend quels domaines en particuliers (détails à venir).
Les maths sont pleines de choses bizarres. Vraiment bizarres. Donc marrantes. Intrigantes. Stupéfiantes. Renversantes. Bouleversifiant...
Lorsque nous avons mis sur pied la théorie des villages de schtroumpfs, nous pensions au village des schtroumpfs. Nous avons axiomatisé le village des schtroumpfs. Mais qu'est-ce qui nous dit que ce village est la seule chose que nous avons axiomatisée ?
Imaginez un univers parallèle dans lequel vivent les schmurfs. Les schmurfs ont un village en tous points semblables aux schtroumpfs sauf que : il n'y a qu'un seul schmurf. Il s'appelle « l'unique grand schmurf ».
FTM : c'est un de mes plus fervents adorateurs.
Le village de schmurfs est aussi un modèle de cette théorie !! Et de fait, la théorie des schtroumpfs ne dit rien sur le nombre de schtroumpfs que doit comporter le village : un modèle de cette théorie, donc un village de schtroumpfs, pourrait même contenir une infinité de schtroumpfs. Heureusement, cet exemple est un bac à sable, et vous y voyez facilement ce qui se passe.
Gudule : OK, il y a plein de modèles de villages de schtroumpfs, ce n'est pas si grave.
Mais les entiers ? Héhé. Vous avez toujours cru qu'il n'y avait qu'un seul monde d'entiers.
Avec une axiomatisation classique des entiers suffisante pour parler d'addition, de multiplication et avoir les propriétés que vous leur connaissez, la « théorie des entiers » est incomplète. Elle admet des modèles dits « non-standards ». Il existe des faux entiers fantômes. Des mondes affreux dans lesquels tous les axiomes des entiers restent vrais, mais qui ne sont pas les entiers que vous connaissez.
Et il existe des énoncés qui sont :
– vrais pour les entiers normaux
– faux dans certains mondes d'entiers fantômes
De sorte que vous ne pouvez ni démontrer qu'ils sont vrais, ni démontrer qu'ils sont faux. Et même s'ils expriment des propriétés « vraies » dans les entiers que vous connaissez, vous n'en avez pas de preuve, et ce n'est pas la peine de la chercher.
Vous avez le droit de faire cette tête. Gudule et moi sommes passés par là.
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Au sens de la théorie des modèles, on dit que l'arithmétique est incomplète. Il existe des énoncés qui ne sont ni prouvables, ni réfutables. À ce stade dans l'histoire des maths, la seule chose que tout le monde espérait était :
L'espoir de Gudule : certes, ces énoncés gödeliens existent, mais ils sont moches, abscons, et on n'en trouvera jamais pour de vrai en se promenant dans la rue. En bref, tout le monde s'en fiche.
J'espère que vous entendez mon rire gras, sinistre et sarcastique.
Voilà pourquoi j'aime le premier théorème de Gödel.
Je ne vous ai pas mis la démonstration de Gödel, le principe sera plus clair quand j'aborderai la diagonale de Cantor.
Cantor, d'ailleurs, arrive à grands pas.
Cantor is coming.
Gudule : déjà fait, la phrase.
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Voilà, un tout petit segment pour finir l'histoire tranquillement. Je rajouterai des détails si vous m'en réclamez. Maintenant je suis un peu plus libre. À venir : Cantor et l'hypothèse du continu. Et deux gros morceaux auxquels vous n'échapperez pas : la calculabilité, et la complexité. Avec la logique / théorie des modèles, ça complète l'informatique théorique. En bref, tout ce que j'aime.
Merci pour vos lectures et vos commentaires ! Et merci à @Denescor (aujourd'hui le tag ne marche pas, désolé) pour avoir repéré mes raccourcis de langage ;)
