Dans la vie j'aime écrire. Et j'aime les maths. Bon, ça dépend quels domaines en particuliers (détails à venir).
Les maths sont pleines de choses bizarres. Vraiment bizarres. Donc marrantes. Intrigantes. Stupéfiantes. Renversantes. Bouleversifiant...
Gudule : chers lecteurs, avant de parler un peu de l'axiome du choix, je tenais à mettre les choses au clair.
Depuis quelques temps, PJAM connaît une popularité croissante, et c'est très bien : plus de gens qui s'adonnent aux saintes mathématiques, plus d'adeptes du FTM, plus de produits laitiers consommés, c'est bon pour la santé.
Cependant, une certaine personne que je ne nommerai pas essaie de se faire de la pub sur mon dos.
« Salut, moi c'est CN. J'écris des fictions ! N'hésitez pas à passer les voir aussi :) »
C'est ce qui s'appelle tenter de profiter indûment de ma popularité. C'est honteux !
Entre CN.
Qu'est-ce que tu disais, Gudule ?
Gudule : oh, rien, rien.
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ZF, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, est une bonne axiomatisation de la théorie des ensembles et donc des fondements même des maths. Elle n'est pas toute simple mais elle fonctionne bien. On la trouve en fait sous deux grandes versions : avec ou sans axiome du choix.
Gudule : ce supplément coûte un peu plus cher, mais je vous le conseille.
ZF + axiome du choix donne ZFC.
ZF sans axiome du choix donne juste ZF.
Si ces deux théories existent, c'est parce que l'axiome du choix est indépendant : il existe un monde avec, et un monde sans. Dans les années 30, Gödel a montré que ZF + AC est cohérente (donc, ne provoque pas de contradiction) si ZF l'est. Donc l'axiome du choix ne provoque pas de remous dans la théorie des ensembles. Dans les années 60, Cohen (le même que celui qui démontra que l'hypothèse du continu était indémontrable) a montré que ZF + non(AC) est cohérente si ZF l'est. Des axiomes de ZF, vous ne pouvez réfuter ni prouver l'axiome du choix, c'est donc bien un axiome « à part ».
Gudule, l'axiome du choix.
Gudule : pour tout ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction de choix qui : à quelqu'un dans X, associe un de ses éléments. Au choix.
Par exemple, si je considère l'ensemble des yaourts aux fruits classés de la façon suivante : les yaourts aux fraises, les yaourts aux poires, les yaourts aux bananes, les yaourts aux cerises... et cætera, il existe une fonction qui à un de ces sous-ensembles, à chaque saveur, associe un de ses yaourts.
Maître, j'ai le sentiment que vous vous moquez du monde. C'est ridicule, comme axiome. Quand vous ouvrez le frigo, parmi tous les yaourts aux poires, vous pouvez sélectionner un yaourt aux poires pour le manger.
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