🎾Tennis - Die Technik ist entscheidend.🎾

Berechnung: Der Fall des Tennisballs

1. Freier Fall
Die Fallzeit t und Fallgeschwindigkeit v des Tennisballs werden anhand der Formeln für den Freien Fall berechnet. Die Fallzeit und die Fallgeschwindigkeit beim Freien Fall hängen ausschließlich von der Fallhöhe h ab. Die Fallhöhe beim Tennis entspricht der Höhe des Scheitelpunkts der Ballflugkurve. Die maximale Fallgeschwindigkeit wird minimal vor dem Aufprall des Balls erreicht.

Berechnungsbeispiele:
Fallzeit: t = √(2h/g)
Fallgeschwindigkeit: v = √(2g·h)
v: Fallgeschwindigkeit in m/s
g: Konstante Fallbeschleunigung = 9,81 m/s²
h: Fallhöhe in m

Beispiel A: Der Scheitelpunkt der Flugkurve liegt in 1,00 m Höhe.
=> Fallgeschwindigkeit: 4,43 m/s ≙ 15,95 km/h in einer Fallzeit von 0,45 s.

Beispiel B: Der Scheitelpunkt der Flugkurve liegt in 2,00 m Höhe.
=> Fallgeschwindigkeit: 6,26 m/s ≙ 22,54 km/h in einer Fallzeit von 0,64 s.

Beispiel C: Der Scheitelpunkt der Flugkurve liegt in 4,00 m Höhe.
=> Fallgeschwindigkeit: 8,85 m/s ≙ 31,87 km/h in einer Fallzeit von 0,90 s.
(Freier Fall-Rechner: https://jumk.de/formeln/freier-fall.shtml )

Weitere Erläuterungen
- Ab dem Erreichen des Scheitelpunkts ist die Fallzeit bezogen auf eine bestimmte Höhe immer gleich. Das heißt, dass bei einem Scheitelpunkt von 1 m Höhe der Ball immer nach 0,45 s aufspringt. Es spielt also keine Rolle, ob der Ball im Scheitelpunkt 5 km/h oder 100 km/h schnell ist.

- Grundsätzlich spielt das Gewicht beim Fall des Tennisballs oder jedes anderen Gegenstands keine Rolle.
- Die Luftreibung ist in den Formeln für den Freien Fall nicht berücksichtigt. Beim werden die Bälle in der Regel flach über das Netz gespielt. Deswegen spielt die Luftreibung eine eher untergeordnete Rolle. Zur Vollständigkeit wird im nächsten Abschnitt bei der Berechnung der tatsächlichen Fallbeschleunigung wird die Luftreibung berücksichtigt.

2. Tatsächliche Fallbeschleunigung

Die Fallbeschleunigung des Balls beträgt 9.81 m/s² ohne die Berücksichtigung der entgegenwirkenden Luftreibung. Die Luftreibung (≙Luftreibungskraft) wird umso größer, desto höher die Fallgeschwindigkeit des Balls wird. Die tatsächliche Fallbeschleunigung nimmt also mit zunehmender Luftreibung ab. Liegt die tatsächliche Fallbeschleunigung bei 0 m/s², hat der Ball seine maximale Fallgeschwindigkeit erreicht.

Die tatsächliche Fallbeschleunigung a des Tennisballs hängt von seiner Fallgeschwindigkeit v² und von der spezifischen Konstante k des Tennisballs ab.

Vor der Berechnung der tatsächlichen Fallbeschleunigung a ist zuerst die Konstante k anhand der spezifischen Eigenschaften des Tennisballs zu bestimmen:

Konstante des Tennisballs: k=(cw·ρ·A)/(2·m·g)
- cw: Mittelwert Widerstandsbeiwert Tennisball: 0,55
- ρ: durchschn. Dichte Luft: 1,204 kg /m³
- A: durchschn. Querschnittsfläche Tennisball: 0,003526 m²
- m: durchschn. Masse Tennisball: 0,057 kg
- g: Konstante Fallbeschleunigung: 9,81 m/s²
⇨ Ergebnis: Konstante k des Tennisballs ist 0,002088.

Berechnungsbeispiele
tatsächliche Fallbeschleunigung: a=g·(1-k·v²)
- v: Geschwindigkeit des Tennisballs

Beispiel A: Geschwindigkeit 15,95 km/h ⇒ 4,43 m/s
⇒ tatsächliche Fallbeschleunigung a = 9,81 · (1 - 0,002088 · 4,43²) = 9,41 m/s²
Unter Berücksichtigung der Luftreibung des Tennisballs hat sich die Fallbeschleunigung von g = 9,81 m/s² auf die tatsächliche Fallbeschleunigung a = 9,41 m/s² bei einer Fallgeschwindigkeit von 15,95 km/h reduziert.

Beispiel B: Fallgeschwindigkeit 22,54 km/h ⇒ 6,26 m/s
⇒ tatsächliche Fallbeschleunigung a = 9,81 * (1 - 0,002088 · 6,26²) = 9,01 m/s²

Beispiel C: Fallgeschwindigkeit 31,87 km/h ⇒ 8,85 m/s
⇒ tatsächliche Fallbeschleunigung a = 9,81 * (1 - 0,002088 · 8,85²) = 8,21 m/s²

Beispiel D: Fallgeschwindigkeit 78,77 km/h ⇒ 21,88 m/s
⇒ tatsächliche Fallbeschleunigung a = 9,81 * (1 - 0,002088 · 21.88²) = 0 m/s²
Das Ergebnis der Fallbeschleunigung beträgt 0 km/h. Die maximale Fallgeschwindigkeit des Tennisballs beträgt 78,77 km/h.

Fazit
Die berechneten Fallgeschwindigkeiten des Balls beim Freien Fall entsprechen den eingesetzten Fallgeschwindigkeiten (Beispiel A -C) bei der Berechnung der tatsächlichen Fallbeschleunigung. Beim Vergleich wird deutlich, dass die tatsächliche Fallbeschleunigung mit steigenden Fallgeschwindigkeiten abnimmt. Die Abnahme ist bezogen auf die niedrigen Spielhöhen des Tennisspielers moderat. ⇒ Zum Zweck der Vereinfachung können zur Bestimmung der Fallgeschwindigkeit und der Fallzeit die Formeln des Freien Falls annäherungsweise verwendet werden.