Sudah berapa lama semenjak saya terakhir nulis di sini? Hmmm, nggak tau deh.
Terus, kenapa tiba-tiba kepikiran ngebuat ini? Sebenernya saya juga nggak tau awalnya bisa nyari "negatif kali negatif sama dengan positif," tapi tiba-tiba saya ketemu video berjudul 'bukti negatif kali negatif sama dengan positif' yang ... ehem, mari saja kita sebut tidak terlihat seperti sebuah pembuktian.
Kekacauan negatif kali negatif sama dengan positif mungkin bisa dirasakan oleh semua orang waktu SD. Pasti ada aja kan yang nanya, "Kok negatif kali negatif bisa jadi positif?" Ya, karena emang keliatannya ngebingungin dan nggak masuk akal, sih.
Mungkin kebanyakan orang itu lebih milih ngejelasin dengan sesuatu yang lebih sederhana, yaitu dengan menjelaskan bahwa "kejahatan jika dilakukan dengan cara yang salah akan menjadi baik." Dan, iya, menurut saya cara itu cukup efektif buat dikasih ke orang-orang. Namun, tentu itu BUKAN bukti matematis.
Hal yang sama juga sebenernya terjadi pada interpretasi spiritual mengenai satu dibagi nol sama dengan tak hingga (yang menyebutkan jika kita memberi satu kebaikan, kemudian mengharapkan 0 imbalan, maka kebaikan kita akan bernilai tak hingga). Sebenernya saya nggak merasa masalah kalau hal itu memang diberikan untuk menyederhanakan pemikiran supaya ngerti. Tapi, saya ngerasa masalah kalau ada orang yang menyatakan bahwa itu merupakan BUKTI untuk suatu pernyataan. Karena ... ya, itu mah bukan bukti, cuma interpretasi ke hal yang lain, wkwkwk.
Jadi gimana dong buktinya?
Untuk masalah ini sebenernya menurut saya nggak terlalu rumit, cuma perlu sedikit pengetahuan tentang aljabar. Kalau mau lebih dalem lagi, bisa belajar teori ring, teori lapangan, atau apalah pokoknya yang mempelajari struktur aljabar. Tapi karena di sini saya ingin menjabarkannya sesederhana mungkin, sampai orang-orang yang nggak kuliah di matematika/yang masih belajar di bangku sekolah juga bisa ngerti, jadi saya berusaha untuk menjelaskannya seeeeeeeee-tidak-terlalu-detail-sampai-mata-kuliah-struktur-aljabarnya-harus-dapet-A mungkin, wkwkwk.
Inget tentang sifat-sifat bilangan di bawah ini?
Komutatif: a x b = b x a
Asosiatif: (a x b) x c = a x (b x c)
Distributif: (a + b) x (c + d) = ac + ad + bc + bd
Yep, sebenernya untuk membuktikan negatif kali negatif sama dengan positif hanya memerlukan sifat-sifat sederhana tersebut.
Nah, sekarang misalnya kita punya bilangan negatif -a dan -b
Lalu, mari kita kalikan, sehingga akan kita tulis (-a)(-b)
Masalahnya, (-a)(-b) = ???
Sebelum mencari tahu hal itu, ingat-ingat kalau
(-1) + 1 = 0
(-2) + 2 = 0
(-3) + 3 = 0
dst.
Artinya? Kalau kita menjumlahkan setiap bilangan dengan negatifnya, hasilnya adalah 0.
Jadi, kita juga tahu kalau angkanya diganti oleh variabel b, maka bisa kita dapatkan (-b) + b = 0
Terus, apa istimewanya? Jangan lupa kalau setiap bilangan yang dikalikan dengan 0 hasilnya adalah nol juga.
Jadi, kalau kita punya (-b) + (b) = 0, terus kedua ruas dikalikan dengan variabel a, maka kita akan punya
(a)((-b) + (b)) = (a)(0)
a((-b) + (b)) = 0
Nah, sekarang inget juga kalau
1 + 0 = 1
2 + 0 = 2
3 + 0 = 3
dst.
Artinya? Kalau kita menjumlahkan suatu bilangan dengan nol, pasti hasilnya juga bilangan itu sendiri, kan? Terus, jangan lupa juga kalau kita punya a((-b) + (b)) = 0
Jadi? Ya kalau kita jumlahkan (-a)(-b) sama a((-b) + (b)), hasilnya pasti akan tetap (-a)(-b). Toh karena emang dijumlahkan dengan nol.
Jadi, kalau kita bisa nulis 3 = 3 + 0
kita juga bisa nulis (-a)(-b) = (-a)(-b) + a((-b) + (b))
Nah, barulah di sini skill aljabar kita harus dipake banget, karena kita harus memanipulasi sedikit persamaannya.
Liat yang a((-b) + (b))? Inget sifat distributif, maka akan jadi (a)(-b) + (a)(b)
Jadi, kita akan punya:
(-a)(-b) = (-a)(-b) + a((-b) + (b))
(-a)(-b) = (-a)(-b) + (a)(-b) + (a)(b)
Nah, sekarang liat yang (-a)(-b) + (a)(-b). Ini juga bisa kita distribusikan (eh, atau kebalikannya, deh).
Lihat kalau (-a + a)(-b) = (-a)(-b) + (a)(-b)
Jadi? ya (-a)(-b) + (a)(-b) bisa kita ubah jadi (-a + a)(-b)
Sehingga, kita akan punya
(-a)(-b) = (-a)(-b) + a((-b) + (b))
(-a)(-b) = (-a)(-b) + (a)(-b) + (a)(b)
(-a)(-b) = (-a + a)(-b) + (a)(b)
Nah loh, tapi kita ketemu lagi sama (-a) + a. Yaaa, sama aja kayak (-3) + 3 = 0, kita bakal punya (-a) + a = 0. Jadi, semua hal itu akan berubah menjadi:
(-a)(-b) = (-a)(-b) + a((-b) + (b))
(-a)(-b) = (-a)(-b) + (a)(-b) + (a)(b)
(-a)(-b) = (-a + a)(-b) + (a)(b)
(-a)(-b) = (0)(-b) + (a)(b)
Karena setiap bilangan yang dikalikan dengan 0 hasilnya adalah 0, maka pada akhirnya akan kita dapatkan:
(-a)(-b) = (-a)(-b) + a((-b) + (b))
(-a)(-b) = (-a)(-b) + (a)(-b) + (a)(b)
(-a)(-b) = (-a + a)(-b) + (a)(b)
(-a)(-b) = (0)(-b) + (a)(b)
(-a)(-b) = (a)(b)
Dan itulah akhirnya. Yeee, selesai juga.
Masih bingung? Mari kita buat contoh dengan mengubah variabelnya ke dalam bilangan.
Kita kan udah dapet tuh , dari penjabaran di atas, bahwa (-a)(-b) = (a)(b). Kalau misalnya kita punya a = 4 dan b = 3, itu sama aja dengan mengatakan bahwa
(-4)(-3) = (4)(3) = 12
Jadi? -4 dikali -3 itu hasilnya 12, alias positif :D
KAMU SEDANG MEMBACA
Kuliah di jurusan matematika itu ...
Diversos"Kenapa kamu mau masuk jurusan matematika?" "Karena suka ngitung." Kalau jawab kayak gitu, mungkin bakal diketawain sama anak matematika. Buat yang ingin tau seluk beluk mengenai dunia perkuliahan di jurusan ini, silakan dibaca mengenai beberapa pen...
