"Kenapa kamu mau masuk jurusan matematika?"
"Karena suka ngitung."
Kalau jawab kayak gitu, mungkin bakal diketawain sama anak matematika.
Buat yang ingin tau seluk beluk mengenai dunia perkuliahan di jurusan ini, silakan dibaca mengenai beberapa pen...
Seperti judulnya, kali ini saya ingin membicarakan tentang induksi matematika.
Dulu, di jaman saya waktu masih KTSP, induksi matematika cuma jadi bagian 'sekilas' aja di bab aritmetika, dan di kurikulum 2013 sekarang, induksi matematika dijadiin satu bab khusus yang biasanya ngebahas tentang notasi sigma, deret, serta induksi matematika sendiri.
Oh iya, sebelumnya pun saya pernah ngajar di suatu tempat les. Dan untuk induksi matematika, saya cukup terkejut dengan metode penyelesaian yang diberikan oleh guru dari sekolah tersebut. Kenapa saya sebut metode? Karena saya rasa udah agak beda dari kaidah-kaidah pembuktian yang ada. Saya nggak tau cuma di sekolah itu aja (tapi kalau liat berbagai anak dari sekolah yang berbeda, mungkin hampir semua guru di sekolah berbeda kayak gitu) atau emang waktu pelatihan kurtilasnya kayak gitu. Saya nggak bermaksud menyalahkan, tapi yang saya inginkan dari induksi matematika itu bukan hanya sekadar inget langkah aja apalagi dengan pengertian yang menurut saya nggak sepenuhnya bener.
Oh iya, buat yang belum ngerti, induksi matematika sendiri sebenernya salah satu metode pembuktian yang umumnya digunakan untuk membuktikan persamaan atau pertidaksamaan yang bergerak secara diskrit (biasanya dibangun oleh bilangan asli). Makanya, biasanya ketika kita mau membuktikan P(n) benar, kita membuktikan dulu P(1) benar.
Untuk pembuktian persamaan atau pertidaksamaan yang dibangkitkan oleh bilangan asli, induksi matematika menggunakan tiga langkah.
Nah, kesalahan-kesalahan konsep apa yang pernah saya temui?
1. Langkah pertama pembuktian harus selalu P(1)
Kenyataannya tidak seperti itu. Ketika kita membuktikan P(1) benar, artinya kita berusaha membuktikan bahwa persamaan/pertidaksamaan benar untuk n = 1, 2, 3, ...
NAMUN, tidak harus selalu dari 1, bisa dari 3, 7, 10 dan seterusnya.
Untuk langkah pertama, kamu bisa membuktikan P(10) benar. Tapi, artinya pembuktian itu hanya berlaku untuk n = 10, 11, 12, 13, 14, .... Tidak dimulai dari 1.
2. Langkah pertama pembuktian, kiri = kanan
Coba perhatikan gambar di bawah dan perhatikan jawaban a dengan jawaban b
Ups! Gambar ini tidak mengikuti Pedoman Konten kami. Untuk melanjutkan publikasi, hapuslah gambar ini atau unggah gambar lain.
Nemu bedanya apa?
Kalau nemu dan alesannya tepat, selamat. Kalau belum nemu, bakal saya kasih tau sekarang.
Buat orang-orang yang menggunakan cara pertama, sebaiknya cara itu dihindari. Kenapa? Karena di langkah pertama induksi matematika, kita ingin membuktikan bahwa P(1) itu benar.
Artinya? persamaan tersebut bernilai benar untuk n = 1
Nah loh, kan yang jawaban a, akhirnya didapetin tuh 1 = 1?
Yaps, mungkin sebagian orang akan berpikir seperti itu. Namun, pengerjaan di atas bukanlah membuktikan bahwa persamaan tersebut bernilai benar untuk n = 1, melainkan MEMBUKTIKAN bahwa 1 = 1 dengan ASUMSI 1^3 = n^2(2n^2 - 1)
Artinya? Kita nggak ngebuktiin sama sekali bahwa persamaan itu bernilai benar untuk n = 1, tapi kita malah membuktikan 1 = 1. Mungkin nggak keliatan bagi kebanyakan orang, tapi emang gitulah keadaan memilukannya, wkwkwk.
Sebaliknya, di jawaban b, kita mengkonstruksi ruas kiri ke dalam bentuk ruas kanan tanpa asumsi apapun. Jadi? Iya, Ruas kiri dapat dibentuk menjadi ruas kanan untuk n = 1. Jadi, cara kedualah yang dapat kita gunakan untuk membuktikan persamaan bernilai benar untuk n = 1. Karena kita MENGUBAH ruas kiri menjadi ruas kanan, bukan MENYAMADENGANKAN terlebih dahulu ruas kiri dan ruas kanan secara bersamaan.
It's little complicated though. Metode pembuktian ini mungkin bakal lebih banyak dipelajari di Logika Matematika dan Matematika Diskrit, dan mungkin ilmunya bisa nyampe buat yang udah belajar kedua hal itu. So, i don't blame them if they didn't understand. Tapi setidaknya, saya cuma ingin memberitahu bahwa membuktikan dengan cara yang pertama itu tidaklah tepat.
Jadi, itulah kesalahan konsep yang gatel ingin saya komentari dari dulu. Hehehehehe.
Semoga bisa bermanfaat.
*Catetan : I'm not really that good, kalau juga menemukan kesalahan konsep yang saya paparkan, silakan koreksi :)
